[现代控制重难点推导] 1. Nonlinear Disturbance Observer(NDOB)

我将开辟一个新的栏目：现代控制科学重难点推导，这是一个关于控制科学中非线性控制的相关重难点的推导笔记。

”扰动”是一个广义概念，可能包括外部扰动、未建模动力学和系统参数扰动。扰动观测器是控制科学中很重要的一种手段，针对”扰动”进行观测近似的一种方法。笔记将以四篇论文进行展开，一篇[1]是2016年关于扰动观测器的一个综述，一篇[1]是非线性扰动观测器一般方法的一个应用案例。而对于一般非线性扰动观测器的拓展，例如有限时间的扰动观测器[3]、预设时间的扰动观测器[4]，是通过构造观测器形式，满足对于Lyapunov判据，从而实现观测误差在有限时间或者预设时间收敛。

NDOB一般形式

文章[1]对控制系统中的扰动、系统未知非线性、系统建模误差的解决方法进行了宏观层面的总结（2016年之前）。对于非线性扰动观测器，也就是NDOB，在其第三章节进行阐述。文章[1]针对经典的非线性仿射系统的基本模型：

\begin{cases} \dot{x} = f(x) + g_1(x)u + g_2(x)d \\ y = h(x) \end{cases}

给出了非线性扰动观测器的一般形式。也就是如下的非线性观测器方程：

\begin{cases} \dot{\delta} = -l(x)g_2(x)\delta - l(x)[g_2(x)p(x) + f(x) + g_1(x)u] \\ \hat{d} = \delta + p(x) \end{cases}

推导如下：

定义扰动估计误差为：

\tilde{d} = d - \hat{d}

假设外部未知扰动为常值或慢时变扰动，即满足：

\dot{d} \approx 0

基于假设，对扰动估计误差沿时间求导：

\dot{\tilde{d}} = \dot{d} - \dot{\hat{d}} \approx -\dot{\hat{d}}

为了让观测误差尽快收敛，设定期望的观测误差收敛方程：

\dot{\tilde{d}} = -l(x)g_2(x)\tilde{d}

将其代入期望的误差动态方程，可得：

\dot{\hat{d}} = l(x)g_2(x)\tilde{d} = l(x)g_2(x)(d - \hat{d})

考虑到系统模型，将其代入上式，得到原始的扰动观测器动态表达式：

\dot{\hat{d}} = l(x) \big[ \dot{x} - f(x) - g_1(x)u \big] - l(x)g_2(x)\hat{d}

扰动观测器需要用到 \dot{x} 这一项，而在工程上不能直接用到 \dot{x} 这一项，因为传感器测量的 \dot{x} 必然带有高频噪声，一阶导会把噪声放大无数倍，导致系统崩溃。为解决这个问题，我们引入内部辅助状态变量 \delta ：

\delta = \hat{d} - p(x)

其中，中间变量p(x)满足：

\frac{\partial p(x)}{\partial x} = l(x)

对内部辅助沿时间求导，并应用链式法则，计算步骤如下：

\dot{\delta} = \dot{\hat{d}} - \frac{\partial p(x)}{\partial x}\dot{x} = \dot{\hat{d}} - l(x)\dot{x}

\dot{\delta} = \Big( l(x) \big[ \dot{x} - f(x) - g_1(x)u \big] - l(x)g_2(x)\hat{d} \Big) - l(x)\dot{x}

\dot{\delta} = -l(x)f(x) - l(x)g_1(x)u - l(x)g_2(x)\hat{d}

\dot{\delta} = -l(x)f(x) - l(x)g_1(x)u - l(x)g_2(x)(\delta + p(x))

整理，即可得到文献 [1] 中给出的非线性扰动观测器的最终一般形式：

\dot{\delta} = -l(x)g_2(x)\delta - l(x) \big[ g_2(x)p(x) + f(x) + g_1(x)u \big]

同时，扰动估计值的代数输出方程为：

\hat{d} = \delta + p(x)

通过Lyapunov稳定性判据分析，增益矩阵l(x)需为正定矩阵。

NDOB案例推导

对于文章[2]，乍看其观测器可能比较难以理解，我们先不考虑文章中其他因素，例如故障、未知非线性等等，简化其系统模型，研究如下仿射非线性系统：

\dot{x} = f(x) + g_1(x)u + d

定义扰动估计误差为：

\tilde{d} = d - \hat{d}

理想的扰动观测器观测误差收敛方程：

\dot{\hat{d}} = \gamma\tilde{d} = \gamma(d - \hat d)

带入系统模型：

\dot{\hat{d}} = \gamma \big[ \dot{x} - f(x) - g_1(x)u - \hat d \big]

同上章节的问题，我们引入中间变量：

\delta= \hat{d} - \gamma x

对 \delta 沿时间进行求导：

\dot{\delta} = \dot{\hat{d}} - \gamma\dot{x}

联立上式，可得观测器的最终形式：

\begin{cases} \dot{\delta} = \gamma \Big( -f(x) - g_1(x)u \Big)-\gamma\hat d \\\hat{d} = \delta+ \gamma x \end{cases}

参数\gamma是一个需要设计的参数，此处\gamma>0。

有限时间 terminal-sliding-mode disturbance observer (TSMDO)

TODO

预设时间 prescribed-time fuzzy disturbance observer (PTFDO)

TODO

references

[1] W. -H. Chen, J. Yang, L. Guo and S. Li, "Disturbance-Observer-Based Control and Related Methods—An Overview," in IEEE Transactions on Industrial Electronics, vol. 63, no. 2, pp. 1083-1095, Feb. 2016, doi: 10.1109/TIE.2015.2478397

[2] Z. Qiu, X. Zhu, A. -T. Nguyen and G. Yin, "Adaptive Neural-Network-Based Fault Tolerant Control for Autonomous Vehicles With Dynamic Output Constraints," in IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, vol. 31, no. 1, pp. 15-25, Feb. 2026, doi: 10.1109/TMECH.2025.3575035.

[3] C. Luo, X. Ning and R. Tang, "Fixed-Time Preassigned Performance Attitude Control for Hypersonic Vehicles With Lumped Disturbance and Actuator Saturation," in IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, vol. 62, pp. 516-527, 2026, doi: 10.1109/TAES.2025.3623581.

[4] C. Wang, Z. Huang, J. Wang, H. Shen and J. H. Park, "Prescribed-Time Trajectory Tracking and Optimization for QUAVs Subject to Asymmetric Global Performance Constraints and Disturbances," in IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, doi: 10.1109/TAES.2025.3646994.